Мои статьи [9]
html-учебник [0]
css [0]
JavaScript [0]
jQuery [0]
uCoz [1]
html и css, вёрстка [0]
Другое [0]
Главная » Статьи » Мои статьи

Алгебра-1 [1]
Приветики. Вы читаете материал, который не готов. Черновик.
Мяу. Числа? Что такое числа? Мы знаем их с детства и умеем пользоваться, но как их определить строго математически? Парадоксально, многие изучают сложную математику, но не знают определения чисел. Интересно, да? С этого я и решил начать алгебру.

`\mathbb{N}`. Натуральные числа

Первые числа, которые узнает ребёнок -- числа, которыми можно сосчитать количество объектов. $$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11...$$ Они и называются натуральными. Множество всех натуральных чисел обозначается `\mathbb{N}`. $$\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, ...\}$$ В 1935 году во Франции появилась группа математиков под общим псевдонимом Николя Бурбаки (фр. Nicolas Bourbaki). Их целью стало написание Трактата о современном состоянии математики, причём очень замкнуто и аксиоматично. Своей цели, надо сказать, они добились, попутно немножко развив математику, и Трактат даже вполне себе гуглится. Помимо прочего, стремясь к наиболее общему описанию, Бурбаки ввели ряд нововведений, в частности, в Трактате `0` считается натуральным числом. Кстати, знак `\lt` ("больше") на самом деле играет в Трактате роль `⩽` ("больше или равно"), в частности, `0 \lt 0` (в действительности эта запись означает `0 ⩽ 0`). И много других подобных вещей. Принимать ли эту точку зрения, и считать ли `0` натуральным -- до сих пор ведутся споры, и немало. В любом случае, это личное дело каждого, ну а для точности во многих книгах вместо "натуральные" используются слова "целые неотрицательные" и "целые положительные", соответственно, включая и не включая нолик. Как же построить множество всех натуральных чисел, опираясь лишь на множества? Да легко! За `0` берём пустое множество, за `1` -- множество, содержащее `0`... и далее-далее-далее. $$0 = \varnothing$$ $$1 = \{ \varnothing \} = \{ 0 \}$$ $$2 = \{\varnothing, \{\varnothing\}\} = \{0, 1\}$$ $$3 = \{ \varnothing, \{ \varnothing, \{ \varnothing \} \} \} = \{0, 1, 2\}$$ $$4 = ...$$ Как нетрудно догадаться, `\mathbb{N}` - natural. Во множестве натуральных чисел можно складывать и умножать числа друг с другом. Без всяких оговорок: будут получаться также натуральные числа. При желании и с оговорками можно также вычитать (в случае, если вычитаемое меньше, конечно же) и даже делить (когда не получается дробей, например, `10 \/ 5 = 2`). По-хорошему, надо определять и описывать эти действия, но смысл? Все умеют умножать и складывать. Увы, в натуральных числах не решается уравнение: $$ x + 1 = 0 $$ Придётся расширить наше сознание понимание чисел.

`\mathbb{Z}`. Целые числа

Ну вот и они :3. Наши любимые. $$ \mathbb{Z} = \{\;\ldots,\;-3,\:-2,\:-1,\:0,\:1,\:2,\:3,\;\ldots\;\} $$ У нас уже есть натуральные, а значит, построить целые -- проще простого! Назовём целым числом пару натуральных: $$(a, b)\quad a,b \in \mathbb{N}$$ Причём считаем: $$(a, b) = (c, d) \quad \Leftrightarrow \quad a+d = b+c$$ Число же вида `(a, 0)` обозначаем просто `a`, а `(0, a)` -- `-a`. Примеры, примеры: $$(5, 7) = (0, 2) = -2$$ $$(10, 11) = (0, 1) = -1$$ $$(11, 10) = (1, 0) = 1$$ Красота, да? По-хорошему, дальше нужно определить сложение и умножение над парами чисел, но... Все же умеют? Побежали дальше. Ах да, `\mathbb{Z}` -- от немецкого Zahlen -- "число". Стоит упомянуть, что подобных способов -- море, например, можно считать положительным числом пару `(a, 0)`, а отрицательным -- `(a, 1)` и вводить правила, исходя из этого. Или вовсе превратить все чётные в положительные, а нечётные -- в отрицательные, в этом случае можно обойтись одним числом.
Это делается вот так
Полагаем, `n \in \mathbb{N}, k \in \mathbb{Z}`. Назовём целым положительным числом `k` натуральное число вида `2n` (т.е. чётное). Назовём целым отрицательным числом `-k` натуральное число вида `2n+1` (т.е. нечётное). Примечание: любое чётное число можно представить в виде `2n`, а любое нечётное -- `2n+1`. Попробуйте сами! Введём обозначения: $$ -1_{\mathbb{Z}} = 1 \qquad \qquad 1_{\mathbb{Z}} = 2 $$ $$ -2_{\mathbb{Z}} = 3 \qquad \qquad 2_{\mathbb{Z}} = 4 $$ $$ -3_{\mathbb{Z}} = 5 \qquad \qquad 4_{\mathbb{Z}} = 6 $$ И вообще: $$ -k = 2n + 1 \qquad \qquad k = 2n $$ Исходя из этого, можно уже вводить сложение, умножение и далее...
Радуемся, скачем по миру целых чисел и решаем разные уравнения. И вдруг -- оп! новое уравнение. $$ 2x = 3 $$ Попробовали по-одному -- не решается. По-другому -- не решается. Это уравнение явно не из нашего мира. Давайте-ка за ним проследим.

`\mathbb{Q}`. Рациональные!

Всё просто: это дроби. А именно, рациональным числом называется число вида $$ \frac{p}{q}, \qquad \qquad p, q \in \mathbb{Z}, \quad q \ne 0 $$ Ну или так: $$ \frac{p}{q}, \qquad \qquad p \in \mathbb{Z},\,q \in \mathbb{N} $$ Но есть и более строгий вывод. Определение. Назовём рациональным числом пару целых: `(a,b)`, `a,b \in \mathbb{Z}`. Определение. Два рациональных числа `(a,b)` и `(c,d)` равны, если: $$ a \cdot d = c \cdot b $$
^ попробуйте поделить это выражение на `b \cdot d`
Ну а число `(a, b)` обозначается `a/b`. Какое же уравнение не решается здесь? $$ x^2 = 2 $$

`\mathbb{R}`. Действительные.

Русский язык, вероятно, единственный, в котором действительные числа имеют 2 разных названия: действительные и вещественные. В английском же они всего лишь real, откуда и идёт буква `\mathbb{R}`. В каком-нибудь там лохматом веке древние египтяне, а, может, и греки, обнаружили так называемую несоизмеримость диагонали и стороны квадрата: диагональ квадрата с рациональной стороной не выражается рациональным числом! Одна из простых интерпретаций: "нельзя разбить сторону на крохотные кусочки одного размера и собрать из какого-то количества кусочков того же размера диагональ: всегда будет чуть-чуть не хватать (или лишне)". Всем известная теорема Пифагора подсказывает, что диагональ квадрата со стороной `a` будет равна `\sqrt{2}a`. О том, почему `\sqrt{2}` нельзя выразить рациональным числом (дробью с 2 целыми коэффициентами), мы поговорим, пожалуй, в анализе, где тема иррациональных чисел будет раскрываться более подробно, а пока примем за факт: `\sqrt{2}` не является рациональным. Что же такое иррациональные числа? Проще всего сказать, что это бесконечные дроби без периода. Давайте посмотрим на некоторые рациональные числа: $$ \frac{1}{3} = 0.33333\cdots = 0.(3) $$ $$ \frac{25}{17} = 1.(4705882352941176) $$
1 = 0.(9)
Как ни странно, `0.(9) = 1`. Не верится? Одно из доказательств: $$ x = 0.(9) $$ $$ 10x = 9.(9) $$ $$ 10x - x = 9.(9) - 0.(9) $$ $$ 9x = 9$$ $$ x = 1$$ Можно и проще, ведь `0.(3)` -- всего лишь обозначение для `1/3`, то есть, `1/3 = 0.(3)`, умножая обе части на `3`, и получаем... Ничего парадоксального тут нет, не существует такого числа, чтобы при делении получались остатки `9, 9, 9...`.
У рациональных период есть всегда. Он может быть большим, скажем, миллион цифр. Но он есть. А вот иррациональные, у них периода нет и никогда не будет. $$ \sqrt{2} = 1.41421356237309504880\cdots $$ $$ \pi = 3.14159265358979323846\cdots $$ $$ e = 2.71828182845904523536\cdots $$ $$ \log_2 3 = 1.58496250072115618145\cdots $$ Впрочем, закономерности вполне могут быть. Вот, например, иррациональное число с закономерностями: $$ 0.10110011100011110000... $$ Закономерность очевидна. Число иррационально: периода нет. К слову, в `e` и `\sqrt{2}` закономерности также есть, но это уже тема анализа, а не алгебры. Действительными называются рациональные и иррациональные числа. Иногда множество иррациональных обозначают `\mathbb{I}`, так что... $$ \mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I} $$ Однако и здесь есть уравнение, не имеющее решений! Вот оно: $$ x^2 + 1 = 0 $$ И... мы переходим дальше:

`\mathbb{C}`. Комплексные

Обратите внимание на ударение: комплексные, а не комплексные. Если вы когда-нибудь поймаете себя на фразе "комплексный обед" -- можете считать себя математиком. Разрешаю. В школе нас учат, что квадратного корня из `-1` не существует.
Категория: Мои статьи | Добавил: Кейтен (29 Январь 2016)
Просмотров: 69 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Имя *:
Email:
Код *: