Мои статьи [9]
html-учебник [0]
css [0]
JavaScript [0]
jQuery [0]
uCoz [1]
html и css, вёрстка [0]
Другое [0]
Главная » Статьи » Мои статьи

Алгебра-1 [2]
Здешняя библиография: - Статьи Википедии "Диофантовы уравнения", "Десятая проблема Гильберта". - Учебник Гельфанда и Шеня по алгебре. Уравнения, бла-бла-бла.

Диофантовы уравнения

Диофантовы уравнения -- это такие уравнения, у которых коэффициенты -- целые числа, и сами они решаются в целых числах. Именно в целых. Классический пример: $$ x^n + y^n = z^n $$ При `n = 2` его решениями являются "пифагоровы тройки" (т.к. получается теорема Пифагора): `3n,4n,5n`, `n \in \mathbb{Z}`. При `n > 2` целых (ненулевых) решений нет: именно об этом утверждает Великая теорема Ферма, та самая, легендарная. Доказанная в 1994 году Эндрю Уайлсом. Уравнение Пелля (`\sqrt{n} \notin \mathbb{Z}`): $$ x^2 - ny^2 = 1 $$ Уравнение Каталана: $$ x^z - y^t = 1 $$ Ну и тому подобные. Заниматься ими мы не будем, ибо это разные спецкурсы. Но познакомиться с этим интересным явлением стоит.

Уравнения разных степеней

Сама алгебра изначально родилась именно из решения линейных уравнений вида ***. Аль Хорезми, аль джебр и так далее.
Квадратные уравнения
Итак, как решить обычное квадратное уравнение? Давайте для простоты предположим, что коэффициент при `x^2` равен единице. $$ x^2 + px + q = 0 $$ Достаточно всего лишь выделить полный квадрат: $$ x^2 + \color{blue}{2} \cdot \frac{px}{\color{blue}{2}} + q = 0 $$ $$ x^2 + \color{blue}{2} \cdot \frac{px}{\color{blue}{2}} + q + \color{green}{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - \left(\frac{p}{2}\right)^2} = 0 $$ $$ \left( x^2 + \color{blue}{2} \cdot \frac{px}{\color{blue}{2}} + \color{green}{\left(\frac{p}{2}\right)^2} \right) + q - \color{green}{\left(\frac{p}{2}\right)^2} = 0 $$ $$ {\left( x + \frac{p}{2} \right)}^2 = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q $$ $$ {\left( x + \frac{p}{2} \right)}^2 = \frac{p^2}{4} - q $$ Дальше можно, как в школе, заявить, что бывает одно решение, два или ноль. Но мы уже взрослые и умеем брать корни из отрицательных чисел. А посему напишем в общем виде: $$ x + \frac{p}{2} = \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} $$ $$ x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}$$ В общем случае как коэффициенты, так и корни могут быть комплексными, например, решениями уравнения `x^2 + 2x + 2 = 0` -- являются числа `-1-i` и `-1 + i`. Ну и в конце отметим, что уравнение вида `ax^2 + bx + c = 0` на самом деле эквивалентно уравнению вида `x^2 + b/a x + c/a = 0`, то есть, нашему решённому `x^2 + px + q = 0`, где `p = b/a`, `q = c/a`. Также есть биквадратные и подобные им уравнения: $$ ax^4 + bx^2 + c = 0 $$ $$ a \sqrt[3]{x^2} + b \sqrt[3]{x} + c = 0 $$ Первое сводится к квадратному подстановкой `y = x^2`, второе -- `y = x^(1/3)`. Общий случай: $$ ax^{2n} + bx^n + c = 0 $$ Подстановка: `t = x^n`. Также есть смеси тригонометрических уравнений с алгебраическими и тому подобное... Впрочем, перебирать все возможные варианты вряд ли имеет смысл, лучше давайте рассмотрим, как же всё-таки решать уравнения 3 и 4 степеней! Но сначала немножко истории и теории. И тут нужно рассказать про теорему Абеля и теорию Галуа, неразрешимость в общем случае, про деление многочленов и схему Горнера, про то, что в целочисленных случаях можно угадывать делители по свободному члену и решать делением. Многовато получится, в общем. Да.

Кубические уравнения

$$ x^3 + bx^2 + cx + d = 0 $$ Начнём с приведения: `x = t - b/3`. Получаем: $$ t^3 + \left(-\frac{b^2}{3} + c\right)t + \left(\frac{2b^3}{27} - \frac{bc}{3} + d \right) = 0 $$ Или, обозначив: `p = -b^2 / 3 + c`, `q = (2b^3) / 27 - (bc)/3 + d`, $$ t^3 + pt + q = 0 $$ Уже легче!) Чтобы не получились слишком страшные формулы, давайте введём две новые переменные: `alpha` и `beta`. $$ \alpha = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{p}{3}\right)^3 + \left(\frac{q}{2}\right)^2}} $$ $$ \beta = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{p}{3}\right)^3 + \left(\frac{q}{2}\right)^2}} $$ Ну и долгожданное решение: $$ t_1 = \alpha + \beta $$ $$ t_{2,3} = -\frac{\alpha + \beta}{2} \pm i \frac{\alpha - \beta}{2} \sqrt{3} $$ Отдельно стоит отметить, что `alpha` и `beta` могут получиться комплексными, а само решение -- действительным. Что вводило в ступор многих средневековых математиков, с комплексными числами незнакомых, и в конечном итоге и привело к их изобретению.
Если хотите испугаться...
$$ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $$
Ну а в спойлер нужно вывод.

Системы линейных уравнений

Категория: Мои статьи | Добавил: Кейтен (08 Февраль 2016)
Просмотров: 90 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Имя *:
Email:
Код *: