Мои статьи [9]
html-учебник [0]
css [0]
JavaScript [0]
jQuery [0]
uCoz [1]
html и css, вёрстка [0]
Другое [0]
Главная » Статьи » Мои статьи

Математика. Мой курс.
Приветики. Вы читаете материал, который не готов. Черновик.
Мяу.
Я всё-таки решил написать свой курс по математике. Зачем? Не знаю. Потому что только я могу описать всё это понятными словами и красиво и органично скомпоновать программу.

Различные предметы следует разделять на курсы. Математика, физика, информатика. Те направления, что фокусируются на каком-то из направлений физики (например), должны отдельно вводить курсы: механика, электротехника... И допускать самое минимальное смешение курсов. Например, уравнения математической физики -- в физику, уравнения в частных производных -- отдельно, в механику.
Впрочем, механики, как и информатики, я пока не касаюсь. Матемааатика. Привет. Ура. Мяу.
Притом предметы с одной стороны, максимально опираются друг на друга (изучил множества в логике -- они на следующей же лекции анализа), максимально исключая повторения, с другой -- максимально независимы, когда это возможно. Для разных направлений эти курсы могут по-разному ограничиваться: механикам ни к чему дискретка, а программистам -- тензоры (наверное... хотя МСС, ТО...). Но желательно -- минимально.

Что ещё? Современные вещи. Изучать классический анализ с эпсилон-дельта, когда есть гораздо более сильный, наглядный и простой нестандартный -- глупость. Изучать на геометрии какой-то там жалкий частный случай поверхностей 2 порядка, когда они больше нигде не пригодятся? Эмм. Зачем? В алгебре тоже много лишней фигни, те же нафиг не нужные квадратичные формы. Ай, не бейте, серьёзно: зачем? Мне они почти не встречались в других разделах. Тратить лишние часы на объяснение интуитивно понятного алгоритма канонизации? OMG, why? Пары минут достаточно. Алгебру и геометрию вообще стоит разделить и изучать более серьёзно. Группы преобразований, геометрия Лобачевского, теория Галуа. Разве не круто? Материал, который полезен всем (имхо).

С идеями многих математиков о, например, отрицании определителей ("Down with Determinants", DwD) или о том, что матрицы нужно вводить с линейными операторами, я тоже не очень согласен. Первое -- удобное сокращение (для, например, смешанного произведения или решения методом Крамера). Второе -- своеобразное обобщение чисел. Которое встречается много где помимо операторов.

Чтобы точно сказать, из чего должен состоять хотя бы первый семестр, нужно подойти к этому максимально, максимально подробно. Прорешать листки 57 школы, листки НМУ за разные года, рассмотреть несколько учебников, посмотреть разные лекции НМУ.
Единственное, что я могу сказать сейчас -- самые первые лекции. Дальше продолжать не рискну, более серьёзное изучение материала может поломать наглядность и прочее.

Логика [1] -- вводятся множества, операции над ними, мощность, равномощные, счётные и континуальные множества (как равномощные к множествам бесконечных двоичных последовательностей), множество подмножеств (2^M aka Sub(M) - Subset), обсуждается вопрос, есть ли самое большое множество (нет, т.к. мн-во всех его подмножеств длиннее). Проблема «множества всех множеств» - например, оно мощнее самого себя. Парадокс Рассела, устраняемый утверждением «множество задано, когда про любой элемент можно сказать, принадлежит он множеству, или нет). Обсуждаются виды доказательств (индукция, от противного, etc). Обсуждаются кванторы, высказывания, операции над ними.

Алгебра-1 [1] -- вводится цепочка N→Z→Q→R→C→H. Натуральные числа вводятся как мощности множеств, целые – 2 способами, сначала определением парой чисел и сравнением, потом – вводом (-1), рациональные – по определению, со сравнением. Иррациональные числа вводятся как бесконечные непериодические дроби, серьёзный разговор о них откладывается на потом. Комплексные – сначала парой вещественных и вводом операций; потом – вводом мнимой единицы. Кватернионы – сначала парой комплексных, потом – чётвёркой вещественных. Поясняются названия (natural, Zahlen нем., quotion, real, complex, Hamilton). Упоминается, что русский язык, вероятно, единственный, где есть 2 синонима – вещественные и действительные; обсуждается вопрос о натуральности нуля. Вводу каждой системы предшествует уравнение, нерешаемое в прошлой системе (x+1=0; 2x=1; x^2=2; x^2=-1). Упоминается, что вводить новые числовые системы надо аккуратно, сохраняя операции (так, например, введя решение для 0x=2, ломаем всю систему).
Вводятся основные алгебраические структуры – группы, поля, тела, моноиды, etc. Обсуждаются свойства операций – коммутативность (и антикоммутативность), ассоциативность и т.п. Обсуждается вопрос, какие из изученных числовых множеств чем являются. Самостоятельное задание – исследовать операции над множествами на свойства операций (коммутативность и т.п.)

Анализ-1 [1] -- вводятся основные понятия курса: предел, производная, интегралы (по Риману, пространственные, по контуру и поверхности), ряды. Поясняются, но не определяются строго.
Обсуждаются иррациональные числа. Разный их ввод (бесконечная дробь, сечения Дедекинда и т.п.). Доказательство иррациональности √2. Цепные дроби, разложение рационального числа в цепную дробь и иррационального (пример на √2, также примеры разложения π, e). Теорема о том, что любое иррациональное число раскладывается в бесконечную дробь (без доказательства).
Алгебраические и трансцедентные числа, построение континуума (см. лекции Хинчина), невычислимые числа (+доказательство существования, см. Хеллера).
Вводятся и обсуждаются гипердействительные числа, их основные свойства, и зачем вообще нужен нестандартный анализ.

Геометрия [1] -- группы?
Дискретная математика [1] -- множества? Комбинаторика?

Алгебра-1 [2] -- разговор про первые уравнения. Обсуждение видов уравнений: диофантовы, алгебраические полиномиальные, линейные. Пара слов про диофантовы с примерами. Полиномиальные — сначала вывод формул Виета для разных степеней, затем уже пару слов о Галуа.
СЛАУ — по-серьёзному.

Выйдет ли что из этого? Не знаю. Надеюсь, хоть какая-нибудь польза будет.
Я пока слишком низко, и, с одной стороны, не могу судить о том, что видно с вершины, с другой -- знаю, как всё выглядит здесь, и на каком языке общаются. И я боюсь это слишком рано потерять.
Категория: Мои статьи | Добавил: Кейтен (29 Январь 2016)
Просмотров: 63 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Имя *:
Email:
Код *: